Selamat datang di math-olc.blogspot.Com

Aplikasi Teori Graf untuk Mencari Posisi Kota Ideal Sebagai Pusat dari Sebaran Kota Setiap Karesidenan di Jawa Tengah

Wednesday, 6 August 20140 comments

Selamat Malam kawan-kawan pencinta Matematika, Apakabar malam ini ? semoga kebaikan, kebahagiaan, dan kedamaian senantiasa tercurahkan untuk kita semua,, Amin,, J

Kali ini saya ber-Sharing tentang salah satu aplikasi matematika dalam membantu menentukan posisi market yang strategis yaitu posisi yang mempunyai jarak terdekat dengan semua konsumen. “Pernahkah Anda pergi ke sebuah kota ??  pasti di kota tersebut terdapat pusat kota sebagai pusat pemerintahan, dan tempat tersebut juga biasanya merupakan tempat yang mempunyai posisi di tengah-tengah kota artinya menjadi center (pusat) di antara seluruh bagian dalam kota tersebut. Dengan posisi pusat kota yang tepat tentunya akan mempermudah setiap warga menuju pusat kota untuk memenuhi kepentingannya”.
Nah, seperti itu jugalah kondisinya. Jadi kita akan mencari posisi pusat konsumen yang tersebar dalam beberapa tempat (kota) menggunakan teori graf (teknik eksentrisitas) sehingga semua konsumen diuntungkan karena jarak menuju tempat tersebut adalah semakin dekat. Kasus yang kita gunakan misalnya adalah Lomba olimpiade matematika tingkat Jawa Tengah.

Untuk menyelesaikan kasus ini maka yang harus kita siapkan adalah sbb;
1. #Kemampuan prasyarat: Pengetahuan  tentang Teori Graf dan eksentrisitas.
2.  Data tentang jarak antar kota di Jawa Tengah beserta rutenya
3. Membuat Model Graf Terhubung setiap kota
4. Menyelesaikan Model menggunakan konsep/teknik eksentrisitas. 
5. Merepresentasikan Model ke dalam permasalahan yang sesungguhnya.


Seperti yang kita tahu Jawa Tengah terdiri dari 35 Kabupaten dan Kota, yang masuk dalam 6 daerah karesidenan yang berbeda. Nah, kita akan membantu Panitia untuk mencari pada kabupaten/kota manakah yang akan meminimalkan jarak setiap peserta (konsumen) untuk menuju (kabupaten/kota) tersebut. Untuk mengetahui setiap jarak anatar kota di Jawa Tengah kita gunakan Google Maps. Dengan aplikasi dari Google ini kita diuntungkan karena kita bisa menggunakan menu directions yang akan memberika informasi jarak  terdekat antar kota dilengkapi dengan rute (jalur yang bisa dilalui) sehingga akan membantu perhitungan. Perhatikan gambar di bawah ini !









Gambar 1. Google maps untuk mencari rute terpendek
               
Pengumpulan Data
Selanjutnya kita akan mencari jarak terpendek antar kota di Jawa Tengah menggunakan g

Tabel 1.1. Jarak antar kota wilayah eks Karesidenan Semarang
berdasarkan jalur jalan raya minimal yang dilalui

No
Kabupaten/kota
Semarang
Purwodadi
Demak
Kendal
Salatiga
1
Semarang
66.5
30.8
29.1
36.8
2
Purwodadi
66.5
39.7
96.5
79.7
3
Demak
35.5
39.7
59.6
68.5
4
Kendal
29.2
96.4
59.7
66.9
5
Salatiga
36.2
79.9
70.5
67
(NB : Jarak dalam Km)

Tabel 1.2. Jarak antar kota wilayah eks Karesidenan Surakarta berdasarkan jalur jalan raya minimal yang dilalui

No
Kabupaten/
Kota
Surakarta
Boylali
Sukoharjo
Karanganyar
Klaten
Wonogiri
Sragen
1
Surakarta
26.6
17.5
16.9
35.2
34.5
32.4
2
Boyolali
27.5
44.9
43.9
27.2
61.6
59.5
3
Sukoharjo
16.8
43.8
23.8
31.5
22.3
43.2
4
Karanganyar
17.1
43.4
23.2
52
33.3
30.3
5
Klaten
35.1
26.1
31.5
51.6
48.3
67.1
6
Wonogiri
35
59.4
22.3
33
48.3
58.9
7
Sragen
31.9
58.2
42.6
31
66.8
58.5







(NB : Jarak dalam Km)

Tabel 1.3. Jarak antar kota wilayah eks Karesidenan Pati  berdasarkan jalur jalan raya minimal yang dilalui

No
Kabupaten/kota
kudus
Pati
Jepara
Rembang
Blora
1
Kudus
25.1
40.9
61.7
96.3
2
Pati
25.5
81.8
36.6
71.2
3
Jepara
40
63.9
102
137
4
Rembang
61.8
36.7
102
35.1
5
Blora
96.4
69.1
137
34.9

    (NB : Jarak dalam Km)

Tabel 1.4. Jarak antar kota wilayah eks Karesidenan Kedu
berdasarkan jalur jalan raya minimal yang dilalui
No
Kabupaten/kota
Magelang
Kebumen
Temanggug
Wonosobo
Purworejo
1
Magelang
85.6
23.7
51
43.7
2
Kebumen
85
109
70.8
42.8
3
Temanggug
25.2
110
40
68.8
4
Wonosobo
50.4
70.3
39.9
54.6
5
Purworejo
42.9
42.2
66.5
54.6
(NB : Jarak dalam Km)

Tabel 1.5. Jarak antar kota wilayah eks Karesidenan Banyumas
berdasarkan jalur jalan raya minimal yang dilalui

No
Kabupaten/Kota
Banyumas
Cilacap
Purbalingga
Banjarnegara
1
Banyumas
55.2
19.1
60.7
2
Cilacap
57.7
72.7
100
3
Purbalingga
18.6
72.2
44.2
4
Banjarnegara
60.7
100
42.7




                    


(NB : Jarak dalam Km)

Tabel 1.6. Jarak antar kota wilayah eks Karesidenan Pekalongan
berdasarkan jalur jalan raya minimal yang dilalui

No
Kabupaten/Kota
Pekalongan
Tegal
Batang
pemalang
Brebes
1
Pekalongan
63.6
6.4
35.3
74
2
Tegal
63.6
69.5
29.5
10.4
3
Batang
6.4
69.5
41.2
79.9
4
Pemalang
35.3
29.5
41.2
39.9
5
Brebes
74
10.4
79.9
39.9
(NB : Jarak dalam Km)

Masih Kuat ya,,, untuk pembahasannya, hehe :D

Setelah ini kita akan bawakan graf bersesuaian untuk memodelkan permasalahan ini. Seperti yang kita tahu graf merukan kumpulan titik dan garis. Dalam model ini titik dianalogikan dengan kota/kabupaten, selanjutnya garis yaang menghubungkan setiap titik (edge) dianalogikan jaarak antar kota. Dan jarak tersebut mempunyai nilai dan arah sehingga didapat graf berbobot dan berarah.

PEMODELAN DATA DALAM DIGRAF BERBOBOT
Dari data pada table di atas secara keseluruhan diketahui bahwa jarak A-B ≠ jarak B-A, hal ini menunjukan bahwa arah yang berbeda mengakibatkan besar jarak berbeda pula, sehingga dengan mengasumsikan titik sebagai representasi kota dan garis merepresentasikan arah rute terpendek kemudian besar jarak dinyatakan sebagai bobot, maka sesuai definisi diperoleh sebuah graf berarah (digraph) berbobot. Berikut adalah bentuk-bentuk model data setelah diubah dalam bentuk digraf.



Gambar 3.3. Karesidenan Semarang dan digrafnya.(D1)



Gambar 3.4. Karesidenan Surakarta dan digrafnya.(D2)

                                                           


  
Gambar 3.5.. Karesidenan Pati dan digrafnya (D3)












 Gambar 3.6.. Karesidenan Kedu dan digrafnya (D4)











Gambar 3.8. Karesidenan Banyumas dan digrafnya (D6)



Gambar 3.7.. Karesidenan Pekalongan dan digrafnya (D5)
Sifat dari jarak adalah sebuah lintasan terpendek, dengan pemilihan rute terpendek pada google maps maka diharapkan dihasilkan pendekatanjarak yang baik (mendekati kondisi riil). Selain itu sifat dari jarak adalah metriks (penjumlahan dari jarak satu titik ke titik yang lain), dalam representasi digraf ini jarak dua titik yang melalui sebuah titik adalah penjumlahan dari jarak kedua titik  terhadap titik ya dilalui tersebut. Kemungkinan jarak dua kota berbeda adalah adanya jalur tol satu arah yang mempunyai panjang jalan berbeda, antara lajur pergi dan pulang meskipun dalam satu  jalan tol yang sama.
PENYELESAIAN MODEL (PENCARIAN EKSENTRIK, DIAMETER, RADIUS, DAN PUSAT (CENTER) )
                    Pencarian pendekatan matematis posisi ideal persebaran lokasi kompetisi menggunakan eksentrik digraf ini adalah suatu pendekatan berdasarkan data yang tersedia, sehingga pada bab ini akan dicari nilai eksentrik dari masing-masing titik (kota) dalam setiap digrafnya (wilayah karesidenan). Tabel berikut ini merepresentasikan sebuah matriks digraf berbobot, yang setiap barisnya pada setiap table akan dicari eksentrisitas dari titik (kabupaten/kota) tersebut. Pembahasan penentuan lokasi kompetisi sebagai pusat (center) menggunakan teknik eksentrik digraf akan dilakukan pada setiap wilayah karesidenan.
1.      Karesidenan Semarang
Tabel 4.1 Nilai eksentrik setiap kota dalam karesidenan Semarang (D1)
No
kabupaten/kota
Semarang
Purwodadi
Demak
Kendal
Salatiga
e(vi )
1
Semarang

66.5
30.8
29.1
36.8
66.5
2
Purwodadi
66.5

39.7
96.5
79.7
96.5
3
Demak
35.5
39.7

59.6
68.5
68.5
4
Kendal
29.2
96.4
59.7

66.9
96.4
5
Salatiga
36.2
79.9
70.5
67

79.9
6
Hasil
66.5 = Semarang
V={V1 ,V2 ,,, V5 }={Semarang, Purwodadi, Demak, Kendal, Salatiga}

Keterangan warna
Radius
Diameter
Center

            Dari table 4.1 kolom e(v) adalah nilai-nilai eksentrik setiap titik (kabupaten/kota) dengan semua titik (kabupaten/kota) yang lain. Di mana e(v) = maks {d(vi,vn) : vi,vnÎV(D1)}, sehingga diperoleh nilai eksentrik semua titik pada kolom tersebut.
Contoh: e( v1 ) = e(Semarang)= maks (d(vi,vn))= maks (66.5, 30.8, 29.1, 36.8)=66.5.  Sehingga diperoleh e( v1 ) = e(Semarang)=66.5 begitu seterusnya sampai e( v5).
              Diameter d(D1) = maks e(vi), viÎV(D1), d(D1) =maks (66.5, 96.5 Km, 68.5,96.4,79.9)=96.5 Km yaitu terletak pada jarak antara Kabupaten Grobogan (Purwodadi) ke Kabupaten Kendal Interpretsi dari diameter ini adalah jarak terjauh antara dua kota yang ada dalam wilayah karesidenan tersebut.
              Radius r(D1)=min e(vi), maka r(D1)=min e(66.5, 96.5, 68.5,96.4,79.9)= 66.5, karena  r(D1)=e(v1)=66.5, maka v1 sebagai representative Kota Semarang terpilih sebagai pusat (center) pada D1. Interpretasi dari Kota Semarang sebagai pusat (center) adalah bahwa Kota Semarang merupakan kota yang mempunyai jarak paling minimum terhadap semua kota yang ada di Karesidenan Semarang. Dengan demikian posisi ideal lokasi kompetisi tingkat Jawa Tengah untuk Karesidenan Semarang adalah Kota Semarang (dalam hal Studi kasus ini adalah kampus FSM, Undip Tembalang, Semarang). Berikut adalah rute (digraf) hasil pembahasan diatas.

Gambar 4.1. Rute atau digraf hasil pendekatan matematis pada (D1)
2.       Karesidenan Surakarta
No
Kabupaten
Surakarta
Boylali
Sukoharjo
Karanganyar
Klaten
Wonogiri
Sragen
e(v)
1
Surakarta

26.6
17.5
16.9
35.2
34.5
32.4
35.2
2
Boyolali
27.5

44.9
43.9
27.2
61.6
59.5
61.6
3
Sukoharjo
16.8
43.8

23.8
31.5
22.3
43.2
43.8
4
Karanganyar
17.1
43.4
23.2

52
33.3
30.3
52
5
Klaten
35.1
26.1
31.5
51.6

48.3
67.1
67.1
6
Wonogiri
35
59.4
22.3
33
48.3

58.9
59.4
7
Sragen
31.9
58.2
42.6
31
66.8
58.5

66.8
8
Hasil
35.2 = surakarta
V={V1 ,V2 ,,, V7 } ={Surakarta, Boyolali, ,,, , Sragen}
Keterangan Warna
Radius
Diameter
Center
Tabel 4.2 Nilai eksentrik setiap kota dalam Karesidenan Surakarta (D2)

              Seperti pada pembahasan sebelumnya pada Karesidenan Semarang, maka untuk Karesidenan Surakarta berdasarkan tabel 4.2 diperoleh hasil yaitu diameter d(D2) = maks e(vi)  = 67.1 Km yaitu terletak pada jarak antara Kota Klaten ke Sragen ataupun sebaliknya. Radius r(D2)=min e(vi) = 35.2 Km, karena  r(D2)=e(v1)=35.2, maka v1 sebagai representative kota Surakarta terpilih sebagai pusat (center) pada D2 atau dengan kata lain posisi ideal lokasi kompetisi tingkat Jawa Tengah untuk Karesidenan Surakarta adalah kota Surakarta.


Gambar 4.2. Rute atau digraf hasil pendekatan matematis pada (D2)
3.      Karesidenan Pati
Tabel 4.3 Nilai eksentrik setiap kota dalam Karesidenan Pati (D3)
No
Kabupaten/Kota
Kudus
Pati
Jepara
Rembang
Blora
e(v)
1
Kudus

25.1
40.9
61.7
96.3
96.3
2
Pati
25.5

81.8
36.6
71.2
81.8
3
Jepara
40
63.9

102
137
137
4
Rembang
61.8
36.7
102

35.1
102
5
Blora
96.4
69.1
137
34.9

137
6
Hasil
Radius = 81.8
V={V1 ,V2 ,,, V5 }= {Kudus, Pati, ,,, , Blora}
Keterangan Warna
Radius
Diameter
Center
                   
              Seperti pada pembahasan-pembahasan sebelumnya maka untuk Karesidenan Pati berdasarkan tabel 4.3 diperoleh hasil yaitu diameter d(D3) = maks e(vi)  = 137 Km yaitu terletak pada jarak antara Kabupaten Jepara ke Sragen ataupun sebaliknya . Radius r(D3)=min e(vi) = 81.8 Km, karena  r(D3)=e(v2)=81.8 Km, maka v2 sebagai representative Kabupaten Pati terpilih sebagai pusat (center) pada D3 atau dengan kata lain posisi ideal lokasi kompetisi tingkat Jawa Tengah untuk Karesidenan Pati adalah Kabupaten Pati.



Gambar 4.3. Rute atau digraf hasil pendekatan matematis pada (D3)

4.  Karesidenan Kedu

                                 Tabel 4.4  Nilai eksentrik setiap kota dalam Karesidenan Kedu (D4)
No
Kabupaten/Kota
Magelang
Kebumen
Temanggug
Wonosobo
Purworejo
e(v)
1
Magelang

85.6
23.7
51
43.7
85.6
2
Kebumen
85

109
70.8
42.8
109
3
Temanggug
25.2
110

40
68.8
110
4
Wonosobo
50.4
70.3
39.9

54.6
70.3
5
Purworejo
42.9
42.2
66.5
54.6

66.5
6
Hasil
66.5= Purworejo
V={V1 ,V2 ,,, V5 }= {Magelang, Kebumen, ,,, ,Purworejo}
Keterangan Warna
Radius
Diameter
Center


     






       Seperti pada pembahasan-pembahasan sebelumnya maka untuk Karesidenan Kedu berdasarkan tabel 4.4 diperoleh hasil yaitu diameter d(D4) = maks e(vi)  = 110 Km yaitu terletak pada jarak antara Kabupaten Temanggung ke Kebumen ataupun sebaliknya. Radius r(D4)=min e(vi) = 66.5 Km, karena  r(D3)=e(v5)= 66.5 Km, maka v5 sebagai representative Kabupaten Purworejo terpilih sebagai pusat (center) pada D4 atau dengan kata lain posisi ideal lokasi kompetisi tingkat Jawa Tengah untuk Karesidenan Kedu adalah Kabupaten Purworejo.


Gambar 4.4. Rute atau digraf hasil pendekatan matematis pada (D4)

5.      Karesidenan Banyumas

Tabel 4.5  Nilai eksentrik setiap kota dalam Karesidenan Kedu (D5)
No
Kabupaten/Kota
Banyumas
Cilacap
Purbalingga
Banjarnegara
e(v)
1
Banyumas

55.2
19.1
60.7
60.7
2
Cilacap
57.7

72.7
100
100
3
Purbalingga
18.6
72.2

44.2
72.2
4
Banjarnegara
60.7
100
42.7

100
5
Hasil
60.7 = Banyumas
V={V1 , ,,, V4 }={Banyumas, ,, , Banjarnegara}
Keterangan Warna
Radius
Diameter
Center
             
            Seperti pada pembahasan-pembahasan sebelumnya maka untuk Karesidenan Banyumas berdasarkan tabel 4.5 diperoleh hasil yaitu diameter d(D5) = maks e(vi)  = 100 Km yaitu terletak pada jarak antara Kabupaten Cilacap ke Banjarnegara ataupun sebaliknya. Radius r(D5)=min e(vi) = 60.7 Km, karena  r(D3)=e(v1)= 60.7 Km, maka v1 sebagai representative Kabupaten Banyumas terpilih sebagai pusat (center) pada D5 atau dengan kata lain posisi ideal lokasi kompetisi tingkat Jawa Tengah untuk Karesidenan  Banyumas adalah Kabupaten Banyumas (Purwokerto).



Gambar 4.5. Rute atau digraf hasil pendekatan matematis pada (D5)
6.      Karesidenan Pekalongan

Tabel 4.6  Nilai eksentrik setiap kota dalam Karesidenan Pekalongan (D6)

No
Kabupaten/Kota
Pekalongan
Tegal
Batang
Pemalang
Brebes
e(v)
1
Pekalongan

63.6
6.4
35.3
74
74
2
Tegal
63.6

69.5
29.5
10.4
69.5
3
Batang
6.4
69.5

41.2
79.9
79.9
4
Pemalang
35.3
29.5
41.2

39.9
41.2
5
Brebes
74
10.4
79.9
39.9

79.9
6
Hasil
41.2 = Pemalang
V={V1 , ,,, V5 }={Pekalongan, ,, , Brebes}
Keterangan Warna
Radius
Diameter
Center

           
            Seperti pada pembahasan-pembahasan sebelumnya maka untuk Karesidenan Pekalonan berdasarkan tabel 4.6 diperoleh hasil yaitu diameter d(D6) = maks e(vi)  = 79.9 Km yaitu terletak pada jarak antara Kabupaten Batang ke Brebes ataupun sebaliknya. Radius r(D6)=min e(vi) = 41.2 Km, karena  r(D3)=e(v4)= 41.2 Km, maka v4 sebagai representative Kabupaten Pemalang terpilih sebagai pusat (center) pada D6 atau dengan kata lain posisi ideal lokasi kompetisi tingkat Jawa Tengah untuk Karesidenan  Banyumas adalah Kabupaten Pemalang.


Gambar 4.6. Rute atau digraf hasil pendekatan matematis pada (D6)
            Dengan pusat (center) pada masing-masing karesidenan seperti rekomendasi di atas, maka untuk keberjalanan penyelenggaraan kompetisi peserta cukup diuntungkan karena jarak yang harus mereka tempuh adalah jarak paling minimal menuju lokasi kompetisi.

KESIMPULAN
            Berdasarkan pembahasan  maka dapat disimpulkan bahwa lokasi kompetisi ideal hasil pendekatan matematis untuk sistem pelaaksanaan pada tiap karesidenan di Jawa Tengah yaitu untuk karesidenan Semarang adalah di Kota Semarang, Karesidenan Surakarta adalah di Kota Surakarta, Karesidenan Pati adalah di Kabupaten Pati, Karesidenan Kedu adalah di Kabupaten Purworejo, Karesidenan Banyumas adalah di Kabupaten Banyumas, dan Karesidenan Pekalongan adalah di Kabupaten Pemalang. Dengan persebaran lokasi tersebut maka pusat (center) mempunyai jarak paling minimum terhadap lokasi peserta berada, untuk rute dan arah hasil pendekatan pemilihan lokasi kompetisi dapat dilihat di bagian Lampiran pada akhir bab ini. Jadi dengan teknik eksentrik digraf kasus persebaran lokasi kompetisi ideal dapat dipilih secara analisis data (matematis) dan dihasilkan lokasi yang mempunyai jarak minimum dengan semua titik (kabupaten/kota) lokasi peserta berada.
SARAN
            Pemilihan lokasi kompetisi hasil pendekatan matematis ini cukup ideal secara jarak, tetapi belum sampai pada pertimbangan lain, sehingga untuk pemilihan lokasi kompetisi yang ideal juga perlu mempertimbangkan hal lain selain jarak, misalnya sarana dan prasarana, tingkat pendidikan dan perekonomian penduduk sekitar dan lain-lain. Hasil pendekatan ini juga bisa digunakan pada kasus lain yang mempunyai kemiripan konsep permasalahan.

            Demikian contoh aplikasi matematika salah satunya dapat membantu menyelesaikan permasalahan sehari-hari.

Maju Terus Matematika Indonesia,


Salam Prestatif
Share this article :

Post a Comment

SAHABAT BLOGGER

Follow by Email

 
Support : Cara Gampang | Creating Website | Johny Template | Mas Templatea | Pusat Promosi
Copyright © 2011. Mathematics Online Learning Center - All Rights Reserved
Template Created by Creating Website Modify by math-olc.com
Proudly powered by Blogger